从头开始学习OI之Tarjan. 今天重新学习了Tarjan算法..来这里写一下学习笔记...
用处
Tarjan算法,是一个关于图的联通性的神奇算法.基于DFS(深度优先搜索).是对于有向图的算法是.根据树,栈,打标记等方法来完成剖析一个图的工作.
我们先来学习一下Tarjan算法需要知道的定义:
强连通，强连通图，强连通分量强连通(Strongly Connected)：
在一个有向图 G 里,有两个点 a,b ,由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a,我们就叫这两个顶点 (a,b) 强连通.
强连通图(Strongly Connected Graph)：
如果在一个有向图 G 中,每两个点都强连通,我们就叫这个图 强连通图。
强连通分量(Strongly Connected Components)：
在一个有向图 G 中，有一个子图，这个子图每2个点都满足强连通，我们就叫这个子图叫做 强连通分量 (如图中的 1,2,3 组成的分量就叫强连通分量)
Tarjan算法:
Tarjan所做的事情很简单...就是找到每一个强连通分量(单独一个点也算是强连通分量..) 在实现算法之前...我们先定义几个数组: dfn[i] 表示第 i 个节点的时间戳..也就是在DFS这张图的时候这个点被遍历到的时刻.. low[i] 表示第 i 个节点所在的强连通分量的根节点(按理说强连通分量无所谓根节点..这里的根节点是指在那一棵DFS树中这个强连通分量的根节点)
很明显如果 dfn[i] == low[i] 那么就代表这一个点是一个强连通分量的根 先看一下算法流程
void Tarjan(int u) { dfn[u] = low[u] = ++Index; //将dfn和low都初始化为时间戳,也就是dfs到的时刻 Stack[++top] = u; //将该点压入dfs栈中 vis[u] = 1; //标记点在栈中 for(int i = head[u]; i; i = edge[i].next) { //DFS过程 if(!dfn[edge[i].to]) { //如果该点没有被搜索到过 Tarjan(edge[i].to); //对于该点进行算法(即dfs的过程) low[u] = min(low[u],low[edge[i].to]); //搜索完成返回时更新一下这个强连通分量里的所有点的在dfs树中的根节点 } else if(vis[edge[i].to]) { //如果该点已经在搜索栈中,那么代表当前栈中在这个点后的点在一个强连通分量里,那么这个搜索到的点就是这个强连通分量的根节点.. low[u] = min(low[u],dfn[edge[i].to]); //将当前点所在强连通分量的根节点修改为搜索到的这个节点,也就是根节点.. } } if(dfn[u] == low[u]) { //按照上面的定义我们知道这是判断是否是一个强连通分量的根节点 while(Stack[top] != u) { //按照上面所说的将该点在栈后的所有节点都弹出(在一个强连通分量里..也就是我们要求的了..可以染色存储起来备用或者缩成一个点(缩点算法)) printf("%d ",Stack[top]); vis[Stack[top--]] = 0; } printf("%d\n",Stack[top]); //弹出当前的这个根 vis[Stack[top--]] = 0; }} 首先来一张有向图 \(G\).我们一点一点来模拟整个算法.
首先是一点一点的入栈..也就是上面DFS遍历的时候的顺序..叫做DFS序或者入栈序..即:
Step1: 1号点入栈 dfn[1] = low[1] = ++index (1) 此时栈为: 1 Step2: 2号点入栈 dfn[2] = low[2] = ++index (2) 此时栈为: 1 2 Step3: 3号点入栈 dfn[3] = low[3] = ++index (3) 此时栈为: 1 2 3 Step4: 6号点入栈 dfn[6] = low[6] = ++index (4) 此时栈为: 1 2 3 6
左边这张树的图就是当前操作完成后的DFS树... 走到这里之后我们看到右边图中六号节点没有了出边...也就是上面说的第一步或者说是第一个判断结束了... 我们就要开始返回了,明显 low[6] == dfn[6] 所以6就是一个强连通分量的根节点; 栈要一直弹出直到弹出6号节点 此时栈为: 1 2 3 然后返回到三号..三号再无出边.. 也一直弹出直到将其弹出 存为一个强连通分量的根 此时栈为: 1 2
发现2号节点还有可以继续遍历下去的边..于是将五号节点压入栈中即: dfn[5] = dfn[5] = ++index(5) 此时栈为: 1 2 5 再遍历发现一个6号..已经遍历过就不在管他了.. 再遍历发现一个1号节点..1号在栈中..于是进入第二个if语句,修改 low[5] = min(low,low) 所以 low[5] 也就是五号节点所在的强连通分量的根就是1 五号没有出边了..返回上一层..修改 low[2] = min(low,low),low[2] = 1 二号没有出边了..返回上一层..修改 low[1] = min(low,low),low[1] = 1 low[1]依然等于1 一号还有出边..遍历到四号 dfn[4] = low[4] = ++index(6) 此时栈为 1 2 5 4 四号遍历到五号..五号在栈中所以更新一下 low[4] = min(low,low),low[4] = 1; 再返回 low[1] = min(low,low) ,low[1] = 1; 然后1号也没有出边了..这时栈一直弹出直到将1号弹出 栈空
最后的DFS树是这样的
按照我们找到的根节点拆成一个个的强连通分量
这样就完成了
我们把以一号为开始的连通图都遍历一遍了...为了防止图有多个(不连通) 我们要在调用Tarjan的时候这样写
for(int i = 1; i <= n; ++i) if(!dfn[i]) Tarjan(i); //如果没有时间戳,那就代表没有遍历到,从此点开始Tarjan
这样就可以把所有的图都给遍历一遍了...
来一道裸题。 输入： 一个图有向图。 输出： 它每个强连通分量。
这个图就是刚才讲的那个图。一模一样。
Input:
6 8 1 3 1 2 2 4 3 4 3 5 4 6 4 1 5 6 Output: 6 5 3 4 2 1 代码:#include#include using namespace std;struct node { int to,next;} edge[1001];int cnt,Index,top;int dfn[1001],low[1001];int stack[1001],head[1001],visit[1001];void add(int x,int y) { edge[++cnt].next = head[x]; edge[cnt].to = y; head[x] = cnt;}void tarjan(int x) { //代表第几个点在处理。递归的是点。 dfn[x] = low[x] = ++Index; // 新进点的初始化。 stack[++top] = x; //进栈 visit[x] = 1; //表示在栈里 for(int i = head[x]; i; i = edge[i].next) { if(!dfn[edge[i].to]) { //如果没访问过 tarjan(edge[i].to); //往下进行延伸，开始递归 low[x] = min(low[x],low[edge[i].to]);//递归出来，比较谁是谁的儿子／父亲，就是树的对应关系，涉及到强连通分量子树最小根的事情。 } else if(visit[edge[i].to]) { //如果访问过，并且还在栈里。 low[x] = min(low[x],dfn[edge[i].to]);//比较谁是谁的儿子／父亲。就是链接对应关系 } } if(low[x] == dfn[x]) { //发现是整个强连通分量子树里的最小根。 do { printf("%d ",stack[top]); visit[stack[top]] = 0; top--; } while(x != stack[top+1]);//出栈，并且输出。 printf("\n"); } return ;}int main() { int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); int x,y; for(int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d%d",&x,&y); add(x,y); } for(int i = 1; i <= n; i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);//当这个点没有访问过，就从此点开始。防止图没走完 return 0;}